Fraktale
aus der
Informatik
 
Das mit Sicherheit bekannteste fraktale Gebilde ist die durch Benoit B. Mandelbrot entdeckte und nach ihm benannte Menge, wegen ihrer Form auch "Apfelmännchen" genannt.
Sie entsteht durch einen sogenannten Iterationsprozess: Man beginnt mit dem algebraischen Ausdruck z2 + c ; dabei ist z eine komplexe Variable und c eine feste komplexe Zahl. Man setzt zunächst z gleich der komplexen Zahl 0 = 0+0i. Das Quadrat ist dann immer noch null, und die Addition von c ergibt c. Dieses Ergebnis setzt man im folgenden Schritt für die Variable z in den Ausdruck z2 + c ein. Als neue Summe ergibt sich dann c2+c. Das setzt man wieder ein und erhält (c2 + c)2+c. So fährt man fort, indem man immer das Resultat des letzten Schrittes im nächsten Schritt für z einsetzt. Bei diesem Prozess erhält man also den folgenden Wert an+1 aus dem vorhergehenden an nach der Vorschrift(Formel)
an+1 = an2 + c
mit dem Startwert a0=0. Es wird dann gefragt, für welche c die Beträge der Folgezahlen bei dieser Iteration nicht gegen Unendlich streben. Die Menge der c - in der komplexen Ebene - bildet dann die Mandelbrot-Menge.
Definition:
Mandelbrot-Menge heißt die Menge aller komplexen Zahlen c, für welche die Ausgangszahl 0 bei der Iterationsfolge z2 + c nicht gegen Unendlich strebt.


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Fraktale

Das Mandelbrotsche "Apfelmännchen"




Bei der angegebenen Iteration z2 + c wird also nach den komplexen Zahlen c (dargestellt durch Punkte in der komplexen Zahlenebene)gesucht, die in der Mandelbrotmenge liegen; jenen Zahlen bzw. den entsprechenden Punkten, die in gewissem Sinne dicht an dieser Menge liegen, werden Farben zugewiesen. Wenn Sie sich die Grundfigur und beim ZOOM in die Mandelbrot-Menge die einzelnen Bilder ansehen, sollten Sie bedenken, dass nur die schwarzen (im Logo blauen) Punkte zur Mandelbrotmenge gehören. Ein Großteil der Schönheit liegt in dem Halo der Farben, die man den divergenten Punkten zuordnet. Die isolierte schwarze Menge sieht nicht so schön aus: sie ist überall von "Staubfäden"(wie bei einer Blüte) überwuchert und von verkleinerten Versionen von sich selbst umgeben.

Genießen Sie die vom Computer berechnete Mandelbrotmenge in ihrer vollen Schönheit.
ZOOM in die Mandelbrotmenge